BAB 6
Distribusi Normal, Distribusi t, dan Distribusi f.
DISTRIBUSI PELUANG
A. Distribusi Binomial
Diperhatikan sebuah eksperimen yang hanya menghasilkan dua peristiwa A dan bukan A (ditulisi ), dimana P (A) = =
peluang terjadinya peristiwa A. dilakukan percobaan sebanyak N kali
secara independen, dimana X diantaranya menghasilkan peristiwa A dan
sisannya (N-X) peristiwa.
Jika+ P(A) untuk tiap percobaan, 1- = P(A),
maka peluang terjadinya peristiwa a sebanyak X =x kali diantara N, dihitung oleh:
P(x) = P(X=x) = ( x (1-∏) n-x
Dengan N! + 1x2x3x….. x(N-1)xN dan 0! = 1 (N! dibaca N faktorial) rumus tersebut merupakan koefisienbinomial
Rumus : = N
σ =
dimana parameter ditinjau dari peristiwa A.
contoh :
1. Peluang untuk mendapatkan 6 muka A, ketika melakukan undian dengan sebuah mata uang logam homogin sebanyak 10 kali adalah
P (x=7) = (1/2)4
= 0,2050
2. Pada pelemparan sebuah mata uang logam yang homogen sebanyak 5 kali, ditentukan X = banyaknya G (gambar) yang muncul. Carilah P (X≤2)
Jawab : =1/2, X = 5
P(X≤2) = P(X=0) = P(X=1) + P(X=2)
P9X=0) = (1/2) 0(1/2)5 = 0,0312
P(X=1) = (1/2) 1(1/2)4
= 0,1562
P(X=2) = (1/2) 2 (1/2)5
= 0,3125
P(X≤2) = 0,312 + 0,1562 + 0,3125 = 0,4993
B. Distribusi Poisson
Pada dasarnya distribusi poisson merupakan perluasan dari distribusi binomial, dengan N cukup besar dan π cukup kecil
Rumus : P(X) = P (X=x) =
Dimana :
x = 0, 2, ………. = banyaknya sukses
e. = 2,7183
λ = bilangan tetap = n π
n = banyaknya ulangan yang dilakukan
distribusi poisson mempunyai parameter :
μ = λ
σ =
contoh :
Jika
peluang pengunjung yang pingsan saat melihat parade akibat terik
matahari adalah 0,005 maka hitunglah peluang bahwa dari 3000 pengunjung
parade tersebut, trdapat 18 orang yang pingsan akibat terik matahari.
Jawab :
π = 0,005 n = 3000
λ = n π = 3000 (0,005) = 15
x = 18
P(X) = P (X=x)
C. Distribusi Normal
Distribusi normal merupakan distribusi dengan variabel acak kentinu dan merupakan distribusi yang sangat dominan. Distribusi normal sering disebut sebagai distribusi Gauss.
Jika variabel acak kontinu mempunyai fungsi densitas pada X = x dengan persamaan : F(x) =
Dimana :
π = 3,1416
e = 2,7183
μ = parameter merupakan rata-rata untuk distribusi
σ= parameter merupakan simpangan baku untuk distribusi
nilai x : - , maka dikatakan variabel acak X berdistribusi normal.
Apabila = 1 dan = 0, maka diperoleh distribusi standar.
Fungsi identitasnya :
F(z) =
Untuk Z ; - < Z <
Mengubah distribusi normal umum, menjadi distribusi normal standar dapat ditempuh dengan menggunakan transforamsi:
Z = ;
Dimana μ = rata-rata dan σ = deviasi standar
Untuk m = 0 dan s = 1
Kurva normal mempunyai sifat-sifat antara lain:
1. bentuknya simetrik terhadap sumbu x = m
2. grafiknya selalu ada di atas sumbu datar x
3. grafiknya mendekati (berasimtutkan) sumbu datar x dimulai dari x = m - 3skekanan sampai m + 3
4. mempunyai satu modus, jadi kurga unimodal, tercapai pada x = m sebesar
5. luas daerah grafik selalu sama dengan satu unit persegi hubungan sifat yang kelima dengan rumus:
f (x) = , adlah . Untuk menentukan peluang harga X antara a dan b, yakni P (a < X < b), digunakan rumus:
P (a < X < b) = dk, untuk penggunaan rumus ini tak perlu dipakai, karena telah ada daftar yang dimaksudkan.
Setelah
kita memiliki distribusi normal baku yang di dapat dari distribusi
normal umum dengan transformasi, maka daftar distribusi normal baku
dapag digunakan. Dengan daftar ini, bagian-bagian luas dari distribusi normal baku dapat dicari. Caranya adalah:
1. hitung Z hingga dua decimal
2. gambarkan kurvanya
3. letakkan harga Z pada sumbu datar, lalu tarik garis vertikal hingga memotong kurva.
4. luas yang tertera dalam daftar adalah luas daerah antara garis ini dengan garis tegak dititik nol.
5. dalam
daftar, cari tempat harga Z pada kolom paling kiri hanya hingga satu
desimal dan desimal keduanya dicari pada baris paling atas.
6. dari
Z di kolom kiri maju kekanan dan dari Z di baris atas turun ke bawah,
maka didapat bilangan yang merupakan luas yang dicari.
Bilangan
yang di dapat ditulis dalam bentuk 0, xxxx (empat desimal) karena
seluruh luas = 1 dan kurva simetrik terhadap m = 0, maka luas dari garis
tetak pada titik nol kekiri ataupun kekanan adalah 0,5.
Contoh:
Penggunaan daftar normal baku.
Akan dicari luas daerah:
1. antara z = 0 dan z = 2,26
Di baah Z pada kolom kiri cari 2,2 dan di atas sekali angka 6. Dari 2,2 mamu ke kanan dan dari 6 menurut didapat 4881 luas daerah yang dicari 0,4881
2. antara z = 0 dan z = -2,26
Di
bawah Z pada kolom kiri cari 2,2 dan diatas sekali angka 6. dari 2,2
maju ke kanan dan dari 6 menurun di dapat 4881 luas daerah yang dicari
0,4881
3. antara
z = -1,50 dan z = 1,26 dari grafik terlihat kita perlu mencari luas
daerah dua kali, lalu dijumlahkan dengan cara seperti no. 1
untuk z = 1,5 didapat 0,4332
untuk z = 1,26 didapat 0,3962
jumlah = luas yang dicari = 0,8294
4. Berat bayi yang baru lahir rata-rata 3.750 gram dengan simpangan baku 325 gram.Jika berat bayi berdistribusi normal, maka tentukan:
a. ada berapa bayi yang beratnya lebih dari 4500 gram?
b. Ada berapa bayi yang beratnya antara 3500 gram dan 4500 gram, jika semua ada 10.0000 bayi?
c. Berapa bayi yang beratnya lebih kecil atau sama dengan 40000 gram, jika semuanya ada 10.000 bayi
d. Ada berapa bayi yang beratnya 4250 gram jika semuanya ada5000 bayi?
Penyelesaian:
Dengan X = berat bayi dalam gram, m =rerata berat bayi dalam gram, m = 3750 gram, s = 325 gram, maka:
a. untuk X = 4500
Z =
gram,
pada grafiknya ada di sebelah kanan z = 2,31 luasnya 0,4896 , luas
daerah lebih besar 2,31 luas daerah ini = 0,5 – 0,4896 = 0,0104. jika
ada 1.04% dari bayi yang beratnya lebih dari 4500 gram.
b. dengan X = 3500 dan 4500 gram di dapat Z = dan Z = 2,31
Luas
daerah yang dibatasi anara --0,77 sampai 2,31 adalah jumlah dari 0,2794
dengan 0,4896 = 0,7690. Banyaknya bayi yang beratnya antara 3500 gram
sampai 4500 gram adalah = 0,7690 x 10000 =7690.
c. Bayi
yang beratnya lebih kecil atua sama dengan 4000 gram, maka beratnya
harus lebih kecil dari 4000,0 gram Z = peluang bayi yang lebih kecil
atau sama dengan 4000 gram = 0,5 – 0,2794 = 0,2206 banyaknya bayi =
(0,2206) x 10,000 = 2,206. Berat 4250 gram berarti berat antara 4249,5
gram dan 4250,5 gram.
Jadi untuk X = 4249,5 dan X = 4250,5 didapat:
Z = Z =
Maka luas daerahnya adalah 0,4382 – 04370 = 0,0012.
Banyaknya bayi = 0.0012 x 5000 = 6
D. Distribusi Student (t)
Distribusi dengan variabel acak kontinu lainnya, selain dari distribusi normal, ialah distribusi student atau distribusi t.
Rumus : t =
Dimana:
t = Rata-rata sampel
m = rata-rata populasi
s = simpang baku, populasi
Maka di dapat distribusi harga t dengan persamaan:
f (t) =
dimana:
f = merupakan
bilangan tetap yang besarnya bergantung pada n sedemikian hingga luas
daerah di bawah kurwa sama dengan satu unit.
(n – 1) = m = derajat kebebasan, biasa disingkat dengan dk
Bentuk
grafiknya seperti distribusi normal baku simetrik terhadap t = 0,
sehingga sempitas lalu hampir tak ada bedanya. Untuk harga n yang besar,
biasanya > 30, distribusi t mendekati distribusi normal.
Untuk
perhitungan-perhitungan, daftar distribusi t sudah disusun dalam
daftar. Distribusi ini ditemukan oleh Gosse t yang menggunakan nama
samaran “student”.
Contoh:
Untuk n = 20, tentukan t supaya luas daerah antara t dengan t = 0,9.
Dari grafik dapat dilihat bahwa luas luas ujung kiri dan luas ujung kanan = 1-0,90 = 0,10
Kedua ujung luasnya sama, mulai dari t kekanan luasnya = 0,05, mulai dari t kekiri luasnya = 1-0,05 = 0,95.
Jadi untuk m= n-1 = 20 – 1 = 19 dan P = 0,95 didapat harga t = 1,73
Jadi antara t = -1,73 dan t = 1,73 luasnya = 0,90
E. Distribusi Chi Kuadrat (χ2)
Distribusi chi kuadrat merupakan distribusi dengan variabel acak kontinu.Simbul yang dipakai ialah χ2.
apabila besar sampel n dan varians s2, maka : χ2 = dan didapat distribusi sampling χ2 untuk
memudahkan menulis, dan harga u > 0, v = (n-1) = derajat kebebasam K
bilangan tetap yang bergantung pada v, sedemikian sehingga luas daeah
di bawah kurva sama dengan satu satuan luas dan e = 2,7183. Grafik
distribusi x2 umumnya merupakan kurva positif yaitu miring kekanan, makin berkurang kemiringannya jika v makin besar.
Contoh: Gambar di bawah distribusi x2 dengan n = 10.
a. Luas daerah yang diarsir sebalah kanak = 0,025, hitung X12
b. Luas daerah yang diarsir sebelah kiri = 0,05, hitung X12
Jawab:
a. v = (n-1) = 10 – 1 = 9; P = 1 – 0,25 = 0,975, dicari pada tabel di dapat X21 = 19,0
b. v = (n – 1) = 10 – 1 = 9; P = 1 – 0,05 = 0,95 dicari pada tabel didapat X12
Catatan :
Karena distribusi X22 tidak
simetrik, luas ujung-ujung daerah yang diarsir bila diketahui
jumlahnya, maka luas daerah ujung kiri yang diarsir dan luas daerah
ujung kanan harganya dapat berbeda-beda.
Dalam
beberapa hal, kecuali dinyatakan lain, biasa diambil luas daerah ujung
kanan yang diarsir sama dengan luas daerah ujung kiri yang diarsir.
F. Distribusi F
Jika S12 dan S22 adalah varian-varians dari sampel-sampel acak independen dengan besar berturut-turut n1 dan n2 yang berasal dari populasi-populasi normal dengan varians-varians s12 dan s22, maka distribusi sampling harga S12/ S22 berbentuk distribusi F dengan derajat kebebasan: dk1 = v1 = n1 – 1; dk2; v2 = n2 – 1, Distribusi F ini juga mempunyai variabel acak yang kontinu.
Fungsi densitasnya mempunyai persamaan:
f (F) = K
dengan variabel acak F memenuhi batas F > 0, K = bilangan tetap yang harganya bergantung pada v1 dan v2, sedemikian hingga luas di bawah kurva sama dengan satu.Kurva distribusi F tidak simetrik dan umumnya sedikit positif.
Tabel distribusi F terdapat pada lampiran, daftar tersebut berisikan nilai-nilai F untuk peluang 0,01 dan 0,05 dengan dk v1 dan v2. Peluang ini sama dengan luas daerah ujung kanan yang diarsir, sedangkan dk = v1 ada pada baris paling atas dan dk = v2pada kolom paling kiri untuk stiap pasang dk v1 dan v2.
daerah ini (0,01 atau 0,05). Untuk tiap dk = v2, daftar terdiri atas dua baris yang atas untuk peluang P = 0,05 dan yang bawah untuk P = 0,01.
Daftar berisikan harga-harga F dengan kedua luas V
Contoh:
Untuk pasangan dk, v1 = 8 dan v2 = 29 ditulis juga (v1, v2) = 8,29), maka untuk P = 0,5 didapat F = 2,28 dan 3,20 untuk P = 0,01.
Meskipun
daftar yang diberikan hanya untuk peluang P = 0,01 dan P = 0,05, tetapi
sebenarnya masih bisa didapat nilai-nilai F dengan peluang 0,99 dan
0,95 digunakan hubungan:
F(1-P) (v1, v2) =
Dalam rumus di atas perhatikan antara P dan 1-P dan pertukaran antara dk (v1, v2) menjadi (v1, v2)
Contoh:
Telah didapat F0,05(8,29) = 2,28
Maka F0,095 (8,29) =
Telah didapat F0,01 (29,8) = 3,20
Maka F0,099(29,8) =
Sumber :
· Irianto, Agus. 2008.
· Statistik Konsep Dasar dan Aplikasinya. Jakarta: Kencana.
· Hasan, Iqbal. 2006. Analisis Data Penelitian dengan Statistik. Jakarta: Bumi Aksara.
· Riduwan. Dasar-Dasar Statistika.2005. Bandung : Alfabeta.
· Sudjana. 2002. Metoda Statistika edisi ke 6. Bandung: Tarsito.
· Tedjo N Raksonoatmodjo. 2009. Statistika Teknik.Jakarta : Refilka Aditam
